Geometrie und Algebra von linearen Abbildungen, Vektoren und Matrizen
Die Gleichung Ax = b ist die zentrale Rechnung der linearen Algebra: Gegeben eine Transformation A und ein Ziel b – welcher Eingabevektor x landet auf dem Ziel? Liest man sie als Geometrie, wird der Charakter der Antwort schon sichtbar, bevor man überhaupt etwas berechnet.
Es gibt zwei Möglichkeiten, sie sich vorzustellen. Die Zeilenansicht: Jede Gleichung ist eine Gerade (in 2-D) oder eine Ebene (in 3-D), und die Lösung liegt dort, wo sie sich alle schneiden. Die Spaltenansicht: b muss eine Linearkombination der Spalten von A sein, und x enthält die Gewichte dieser Kombination.
Geometrisch gibt es genau drei Fälle. Die Geraden schneiden sich in einem Punkt (eine eindeutige Lösung); sie sind parallel und verschieden (keine Lösung, die Ziele treffen nie zusammen); oder sie sind ein und dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen). Ziehe die Geraden in der Abbildung durch alle drei Fälle.