Geometrie und Algebra von linearen Abbildungen, Vektoren und Matrizen
Die Inverse A⁻¹ ist die Transformation, die A rückgängig macht. Wende A an und dann A⁻¹, und jeder Vektor kehrt nach Hause zurück: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Wenn A um 30° dreht, dreht ihre Inverse um 30° zurück; wenn A Längen verdoppelt, halbiert ihre Inverse sie.
Nicht jede Matrix lässt sich rückgängig machen. Eine Inverse existiert nur dann, wenn A vollen Rang hat, gleichbedeutend damit, dass ihre Determinante von null verschieden ist. Der Grund ist geometrisch: Wenn A den Raum flach drückt (eine Richtung auf null kollabiert, wie es eine Matrix mit niedrigem Rang tut), geht Information verloren, und es gibt keine Möglichkeit, sie wiederherzustellen. Eine solche Matrix heißt singulär.
Für eine 2×2-Matrix gibt es eine merkbare geschlossene Form. Diagonale vertauschen, Nebendiagonalen negieren und durch die Determinante teilen: