Geometrie und Algebra von linearen Abbildungen, Vektoren und Matrizen
Das Skalarprodukt nimmt zwei Vektoren und gibt eine einzelne Zahl zurück. Die Vorschrift ist einfach: Multipliziere die einander entsprechenden Komponenten und addiere die Ergebnisse auf. Diese schlichte Arithmetik trägt eine geometrische Bedeutung: Das Skalarprodukt misst, wie sehr zwei Pfeile in dieselbe Richtung zeigen.
Auf die rechte Form sollte man sich stützen. |a| und |b| sind die Längen, und θ ist der Winkel zwischen den Pfeilen. So liest man am Vorzeichen des Skalarprodukts sofort die Geometrie ab: positiv bedeutet, dass die Pfeile in dieselbe Richtung weisen (θ < 90°), negativ bedeutet, dass sie einander entgegengesetzt sind (θ > 90°), und genau null bedeutet, dass sie senkrecht aufeinander stehen. Dieser letzte Fall taucht immer wieder auf.
Stell dir vor, du schiebst einen Einkaufswagen, während der Wind weht. Das Skalarprodukt aus deinem Schieben und dem Wind sagt dir, wie sehr die beiden Pfeile übereinstimmen: es ist groß und positive, wenn der Wind dir hilft, zero, wenn der Wind direkt quer zu deinem Weg weht und keine Arbeit verrichtet, und negativ, wenn er dich zurückdrängt. Gelesen als ein Ähnlichkeitsmaß, bedeutet ein größeres Skalarprodukt einfach „diese beiden Pfeile stimmen mehr überein“.