Geometrie und Algebra von linearen Abbildungen, Vektoren und Matrizen
Eine quadratische Form xᵀAx nimmt einen Vektor entgegen und gibt eine einzelne Zahl zurück, die sich quadratisch in x ändert – die Matrixversion von ax². Durchläuft x alle Richtungen, zeichnet diese Zahl eine Fläche nach, und die Matrix A (als symmetrisch angenommen) bestimmt die Gestalt dieser Fläche.
Ihre Eigenwerte sind die Krümmungen entlang der Eigenachsen, und ihre Vorzeichen klassifizieren die Fläche vollständig. Alle positiv: eine nach oben geöffnete Schale (positiv definit) mit einem sauberen Minimum. Alle negativ: ein Dach (negativ definit) mit einem Maximum. Gemischte Vorzeichen: ein Sattel (indefinit), in einigen Richtungen nach oben, in anderen nach unten.
Ändern Sie im Bild die Vorzeichen der Eigenwerte und beobachten Sie, wie sich die Fläche zwischen Schale, Dach und Sattel verwandelt.