Cálculo de una variable desde primeros principios
Informalmente, una función es continua si puedes dibujarla sin levantar el lápiz: sin agujeros, saltos ni explosiones repentinas. La versión precisa lo establece con el límite que acabas de aprender: en cada punto, donde la función está dirigiéndose debe coincidir con dónde realmente está.
Tres cosas deben coincidir: f(a) existe, el límite existe y son iguales. Si alguna de las tres falla, tienes una discontinuidad, y hay exactamente tres tipos.
Una discontinuidad removible es un punto faltante, un agujero, donde el límite existe pero la función omitió ese valor (como el agujero en (x²−4)/(x−2)). Un salto ocurre cuando los límites izquierdo y derecho discrepan, por lo que el gráfico salta de un nivel a otro. Una discontinuidad infinita es una asíntota vertical, donde la función se dispara hacia ±∞ (como 1/x en 0).