Cálculo de una variable desde primeros principios
La convexidad es la forma que hace que la optimización sea fácil. Una función convexa se curva hacia arriba en todas partes, como una taza, y esa propiedad única la hace fácil de minimizar: hay exactamente un punto más bajo, y cualquier camino descendente lleva directamente a él.
Hay tres formas equivalentes de ver la convexidad. Primero, la segunda derivada es no negativa en todas partes: f″(x) ≥ 0. Segundo, la curva se curva hacia arriba y nunca se dobla hacia abajo. Tercero, el dibujo definitorio, una cuerda entre cualquier par de puntos está por encima de la curva.
Imagina un valle liso, o el interior de un cuenco, y suelta una canica en cualquier lugar a lo largo del mismo. No importa dónde empiece, la canica siempre rueda hacia abajo hasta el único punto más bajo y se asienta ahí. Eso es exactamente lo que la convexidad te ofrece: un valle, sin falsos fondos, por lo que cualquier camino cuesta abajo lleva al único y verdadero mínimo.