Cálculo multivariable desde primeros principios
Hacer que el Jacobiano sea cuadrado (n entradas, n salidas) y su determinante asume un trabajo geométrico concreto. Desde Álgebra Lineal, el determinante de una matriz es el factor por el cual escala el volumen. El determinante del Jacobiano te dice cuánto se estira o contrae un pequeño parche de espacio mientras pasa a través.
Si |det J| > 1, una pequeña caja del espacio de entrada sale más grande, por lo que el mapa se expande. Si |det J| , sale más pequeña, por lo que el mapa se contrae. Si det J = 0, la caja se aplana: el mapa colapsa una dimensión y es localmente no invertible.
Dibuja un cuadrado diminuto en una lámina de goma elástica, luego tira de la lámina para distorsionar la cuadrícula. El determinante jacobiano es el número único que te dice cuánto creció o se redujo el área de ese pequeño cuadrado en el estiramiento. Tira de la goma en ambos sentidos y el cuadrado se hincha; aplástalo en un solo pliegue y su área cae a cero.