Cálculo multivariable desde primeros principios
Cuando la salida es un vector también, una función f: Rⁿ → Rᵐ, no basta con un gradiente. Necesitas la derivada parcial de cada salida respecto a cada entrada. Agrúpalos todos en una matriz y obtienes el Jacobiano J, la primera derivada completa de una función vectorial.
La fila i de J es simplemente el gradiente del i-ésimo output. Así que el Jacobiano es un apilamiento de gradientes, uno por coordenada de salida. Su forma es m × n: tantas filas como salidas y tantas columnas como entradas.
Piensa en la mesa de mezclas de un ingeniero de sonido, donde cada canal de salida responde a cada perilla de entrada. El jacobiano es esa tabla de sensibilidad escrita: cada entrada dice cuánto se mueve una salida cuando ajustas una perilla de entrada. Lee a lo largo de una fila para ver todo lo que impulsa una sola salida; lee por una columna para ver todo lo que controla una perilla.