Cálculo multivariable desde primeros principios
La aproximación lineal (Lección 9) utilizó solo el gradiente y proporcionó un plano tangente plano. Agrega el siguiente término, el que se construye a partir del hessiano, y obtienes una aproximación cuadrática: una paraboloide que abraza la superficie, capturando su curvatura, no solo su inclinación.
Lee las tres partes: f(x) es la altura, ∇fᵀδ es la corrección lineal (pendiente), y ½δᵀHδ es la corrección cuadrática (curvatura). Ese último término es una forma cuadrática en el paso, exactamente el objeto cuyo signo controlan los valores propios del hessiano.
Un plano tangente plano descansando sobre una superficie curva es como colocar un portaobjetos de vidrio rígido sobre tu ojo: toca en un punto pero tiene huecos en el resto. Una lente de contacto funciona mejor porque está curvada para coincidir con la superficie del ojo, coincidiendo no solo con dónde está el ojo sino con cómo se dobla. El término del hessiano ½δᵀHδ es esa curvatura incorporada: permite que la aproximación abrace la superficie en lugar de simplemente descansar sobre ella.