Cálculo multivariable desde primeros principios
Una integral simple mide el área bajo una curva. La integral doble mide volumen bajo una superficie. Cubre una región del plano con pequeñas baldosas, multiplica cada baldosa por la altura de la superficie sobre ella, suma y luego reduce las baldosas. Es la idea de sumas de Riemann elevada a una dimensión más.
La calculas mediante integración iterativa: integra en una variable, luego en la otra. El teorema de Fubini es lo que hace esto práctico, ya que para funciones continuas puedes integrar en cualquier orden y obtener el mismo resultado.
Imagina medir la lluvia total capturada sobre todo un campo. La lluvia cae de manera desigual, más fuerte cerca de una esquina, más ligera en otra, por lo que cortas mentalmente el campo en pequeños cuadrados, multiplicas el área de cada cuadrado por la profundidad de la lluvia local allí, y sumas cada parche. Dejar que los parches se encojan convierte esa suma en la integral doble de la profundidad f(x, y) sobre el campo.