Cálculo multivariable desde primeros principios
Igual que una función unidimensional tiene una segunda derivada, una función multivariable tiene parciales de segundo orden. La diferenciases dos veces. El nuevo detalle es que ahora puedes elegir cual variable diferenciar cada vez, y algo ordenado ocurre cuando las mezclas.
Los parciales puros de segundo orden ∂²f/∂x² y ∂²f/∂y² miden la curvatura a lo largo de cada eje. El parcial mixto ∂²f/∂x∂y diferencia primero por y, luego por x; mide cómo cambia la pendiente en una dirección mientras te mueves en la otra.
Una primera parcial te indica la inclinación de la ladera; una segunda parcial te dice cómo cambia esa misma inclinación a medida que te mueves, que es la curvatura de la pendiente. Al caminar hacia el este, ¿el terreno sigue haciéndose más empinado o comienza a nivelarse? Esa flexión de la pendiente hacia el este ∂f/∂x a medida que avanzas más hacia el este es la segunda parcial ∂²f/∂x², la curvatura de la colina a lo largo de esa dirección.