Cálculo multivariable desde primeros principios
Una idea lleva la mayor parte del cálculo multivariable: para diferenciar una función de varias variables, cambia solo una variable a la vez y congela todas las demás. Mantén y en su lugar, mueve x, y pregúntate cómo responde f. Esa tasa de cambio es la derivada parcial ∂f/∂x.
La letra curva ∂ ("parcial") es el único nuevo símbolo. Todo lo demás es diferenciación del curso I (regla de potencia, regla del producto, regla de cadena) aplicada como si las variables congeladas fueran solo constantes.
Párate en una ladera y la pendiente que sientas dependerá de hacia qué lado mires. Camina hacia el este, manteniendo fija tu posición norte-sur, y la inclinación bajo tus pies es la derivada parcial ∂f/∂x. Gira y camina hacia el norte en su lugar, manteniendo fija la dirección este-oeste, y sentirás una pendiente diferente, ∂f/∂y. Cada parcial congela una dirección e informa la subida o bajada a lo largo de la otra.