Cálculo multivariable desde primeros principios
Cerca, toda superficie suave parece plana, como la Tierra que sientes plana bajo tus pies. La aproximación lineal reemplaza la función curva cerca de un punto con el plano tangente que lo toca allí. El gradiente proporciona la inclinación de ese plano.
Lee en palabras: el nuevo valor ≈ el viejo valor, más el producto escalar del gradiente con el paso que tomaste. Ese producto escalar es la derivada direccional por el tamaño del paso, la mejor suposición lineal para cuánto f se movió.
Presiona una pequeña pegatina plana en una pelota de playa y, justo donde se asienta, la pelota curva se ve perfectamente plana. La aproximación lineal es esa pegatina: un plano tangente plano que besa la superficie en un punto y reemplaza a la curva cercana. Si deambulas demasiado por la pelota, la pegatina se despega de la superficie — la predicción se desvía.