Matriz inversa

Geometría y álgebra de aplicaciones lineales, vectores y matrices

La inversa A⁻¹ es la transformación que deshace A. Aplicar A y luego A⁻¹ hace que cada vector regrese a su posición original: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Si A gira 30°, su inversa gira de vuelta 30°; si A duplica las longitudes, su inversa las reduce a la mitad.

No toda matriz puede ser deshecha. Una inversa existe solo cuando A es de rango completo, equivalentemente cuando su determinante es distinto de cero. La razón es geométrica: si A aplana el espacio (colapsando una dirección a cero, como hace una matriz de bajo rango), se destruye información y no hay manera de reconstruirla. Tal matriz es singular.

Para una matriz 2×2 existe una forma cerrada memorable. Intercambia la diagonal, niega los elementos fuera de ella, divide por el determinante:

Dónde aparece en el MLLa inversa es central en concepto pero evitada en práctica. Las ecuaciones normales de regresión se escriben β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy, sin embargo, los solucionadores reales nunca forman esa inversa; resuelven directamente el sistema porque la inversión es costosa y numéricamente frágil. Saber cuándo una matriz es invertible (de rango completo) te dice si tu problema está bien planteado o degenerado.
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