Calcul à une variable depuis les premiers principes
Informellement, une fonction est continue si vous pouvez la tracer sans lever le stylo : pas de trous, pas de sauts, pas d'explosions soudaines. La version précise fixe cela avec la limite que vous venez de étudier : à chaque point, l'endroit où la fonction est en train d'aller doit correspondre à l'endroit où elle est vraiment ici.
Trois choses doivent coïncider : f(a) existe, la limite existe et elles sont égales. Si l'une des trois êt en panne, vous avez une discontinuité, et il y a exactement trois types.
Une discontinuité réglable est un point manquant unique, un trou, où la limite existe mais la fonction a sauté cette valeur (comme le trou de (x²−4)/(x−2)). Une discontinuité par saut est quand les limites gauche et droite ne sont pas d'accord, donc le graphique saute d'un niveau à l'autre. Une discontinuité infinie est une asymptote verticale, où la fonction part en ±∞ (comme 1/x à 0).