Calcul à une variable depuis les premiers principes
Une fonction est différenciable en un point si elle a une pente unique et bien définie là : une seule tangente, pas d'ambiguïté. La plupart des courbes lisses sont différentiables partout. Mais certaines fonctions, bien que parfaitement continues, ont un endroit où la pente ne peut tout simplement pas être déterminée. Comprendre les points où les dérivées échouent est aussi important que de les calculer.
Si une fonction a une pente en un point, elle ne peut pas avoir un saut là, donc différenciable ⇒ continue. L'inverse est faux : une fonction peut être continue (tracable sans lever le stylo) et encore manquer de pente à ce point. Le fossé entre "continue" et "différenciable" est exactement la partie intéressante.
La valeur absolue |x| est l'exemple standard. Elle est continue partout, sans interruption en 0. Mais juste au coin, la pente entrant du côté gauche est −1 et la pente sortant vers le droit est +1. Deux pentes différentes se rencontrent à un point aigu, donc il n'y a pas de tangente unique. La dérivée n'existe pas au x = 0.