Calcul à une variable depuis les premiers principes
L'intégrale répond à la question complémentaire à la dérivée : pas "à quelle vitesse cela change-t-il ?" mais "combien a-t-il accumulé ?". Géométriquement, l'intégrale définie est la surface enfermée entre une courbe et l'axe des x.
Imaginez tracer le contour d'un étang sur du papier quadrillé en voulant obtenir son aire. Vous ne pouvez pas multiplier une largeur par une hauteur, car le rivage se courbe. Vous comptez donc les petits carrés qui tombent sous le contour : plus il y a de carrés, plus la grille est fine, plus votre compte s'approche de la véritable aire. Une somme de Riemann est exactement ce décompte, et l'intégrale est le nombre sur lequel elle se stabilise alors que les carrés rétrécissent jusqu'à disparaître.
Pour un rectangle, la surface est simplement largeur × hauteur. Mais une courbe a un sommet ondulé — pas de hauteur unique à multiplier. L'idée de Bernhard Riemann : couper la région en rectangles verticaux minces, chacun si court que la courbe est presque plate dessus, additionner leurs surfaces, puis utiliser des tranches de plus en plus fines.