Calcul à une variable depuis les premiers principes
C'est le théorème qui relie tout le cours. Dérivées et intégrales, pentes et aires, semblent appartenir à deux mondes distincts. Le théorème fondamental de l'analyse (TFA) montre qu'ils sont des inverses exacts l'un de l'autre. Dériver annule intégrer, et inversement.
Définissons une fonction d'aire A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, l'aire cumulée sous f depuis un début fixé jusqu'à x. La partie 1 dit : le taux auquel cette aire croît est exactement la hauteur de la courbe au bord droit :
Intuitivement : lorsqu'on déplace légèrement le bord droit, la nouvelle bande d'aire ajoutée est (hauteur)×(largeur infime) = f(x)·dx. Donc l'aire s'accumule au taux f(x). La figure montre l'aire se remplir et son taux de croissance suivre la hauteur de la courbe.