Calcul à une variable depuis les premiers principes
Une poignée de séries de Taylor reviennent si souvent qu'il vaut la peine de les connaître par cœur. Les reconnaître permet de développer, d'approcher et de simplifier à vue, sans redériver les coefficients à chaque fois.
Remarquez les motifs : eˣ utilise chaque puissance sur une factorielle ; sin n'utilise que les puissances impaires (c'est une fonction impaire) et cos uniquement les paires ; la série géométrique 1/(1−x) n'est que toutes les puissances avec coefficient 1.
Une série n'égale sa fonction qu'à l'intérieur d'un rayon de convergence. Pour eˣ, sin et cos le rayon est infini ; elles fonctionnent pour tout x. Mais 1/(1−x) et ln(1+x) ne convergent que pour |x| < 1 ; au-delà, la série diverge vers du non-sens.