Calcul multivarié depuis les premiers principes
Lorsque la sortie est elle aussi un vecteur, une fonction f: Rⁿ → Rᵐ, un seul gradient ne suffit pas. Il vous faut la dérivée partielle de chaque sortie par rapport à chaque entrée. Empilez-les toutes dans une matrice et vous obtenez la jacobienne J, la dérivée première complète d'une application à valeurs vectorielles.
La ligne i de J n'est autre que le gradient de la i-ème sortie. La jacobienne est donc un empilement de gradients, un par coordonnée de sortie. Sa forme est m × n : autant de lignes que de sorties, autant de colonnes que d'entrées.
Pensez à la table de mixage d'un ingénieur du son, où chaque canal de sortie réagit à chaque bouton d'entrée. Le jacobien est ce tableau de sensibilité écrit : chaque entrée indique de combien une sortie se déplace lorsque vous poussez un bouton d'entrée. Lisez sur une ligne pour voir tout ce qui contrôle une seule sortie ; lisez dans une colonne pour voir tout ce qu'un bouton contrôle.