Calcul multivarié depuis les premiers principes
Rendez la jacobienne carrée (n entrées, n sorties) et son déterminant prend un rôle géométrique concret. D'après l'algèbre linéaire, le déterminant d'une matrice est le facteur par lequel elle met à l'échelle le volume. Le déterminant jacobien vous dit de combien une application étire ou rétrécit un petit morceau d'espace lors de son passage.
Si |det J| > 1, une petite boîte de l'espace d'entrée ressort plus grande, l'application dilate donc. Si |det J| , elle ressort plus petite, l'application contracte donc. Si det J = 0, la boîte est aplatie : l'application réduit une dimension et n'est localement pas inversible.
Dessinez un petit carré sur une feuille de caoutchouc extensible, puis tirez la feuille pour déformer la grille. Le déterminant jacobien est le nombre unique vous indiquant de combien l'aire de ce petit carré a augmenté ou diminué lors de l'étirement. Tirez le caoutchouc dans les deux sens et le carré gonfle ; écrasez-le sur un seul pli et son aire tombe à zéro.