Calcul multivarié depuis les premiers principes
Une intégrale simple mesurait l'aire sous une courbe. L'intégrale double mesure le volume sous une surface. Recouvrez une région du plan de petites tuiles, multipliez l'aire de chaque tuile par la hauteur de la surface au-dessus d'elle, additionnez-les, puis réduisez les tuiles. C'est l'idée de la somme de Riemann élevée d'une dimension de plus.
On la calcule par intégration itérée : intégrer sur une variable, puis sur l'autre. Le théorème de Fubini est ce qui rend cela pratique, car pour les fonctions continues on peut intégrer dans n'importe quel ordre et obtenir la même réponse.
Imaginez que vous mesurez la quantité totale de pluie tombée sur un champ entier. La pluie tombe de manière inégale, plus forte près d'un coin, plus faible à un autre, alors vous découpez mentalement le champ en petits carrés, multipliez la surface de chaque carré par la hauteur des précipitations locales à cet endroit, et additionnez chaque parcelle. En laissant les parcelles rétrécir, cette somme se transforme en l'intégrale double de la profondeur f(x, y) sur le champ.