Calcul multivarié depuis les premiers principes
Ajoutez une dimension de plus et vous avez l'intégrale triple : au lieu de paver une région 2D, vous remplissez un solide 3D de petites boîtes, pondérez chacune par la valeur de la fonction à cet endroit, et sommez. La machinerie est la même qu'avant, des sommes de Riemann suivies d'une intégration itérée, Fubini vous laissant toujours choisir l'ordre.
Sur une boîte [a,b]×[c,d]×[e,g], ce sont trois intégrales simples imbriquées : intégrer sur une variable en gardant les autres fixées, puis la suivante, puis la dernière. Chaque étape est une intégration ordinaire du Cours I.
Pensez à peser un gâteau éponge dont la densité varie d'un endroit à l'autre : aéré près du sommet, plus dense et plus moelleux vers le milieu. Pour obtenir sa masse totale, vous le couperiez en minuscules cubes, multiplieriez le petit volume de chaque cube par la densité à cet endroit précis, et additionneriez chaque miette. Le rétrécissement des cubes transforme cette somme en l'intégrale triple de la densité f(x, y, z) sur le gâteau.