Calcul multivarié depuis les premiers principes
Cette dernière leçon relie les deux moitiés du cours. Quand vous changez de variables dans une intégrale en substituant x = g(u), vous devez tenir compte de la façon dont la substitution étire l'espace. Ce facteur d'étirement est le déterminant jacobien du Module 3, donc la formule finale est l'endroit où les dérivées et les intégrales du cours se rencontrent enfin.
C'est la généralisation multivariée de la substitution u du Cours I. Là, le facteur était |dx/du|, un « jacobien » 1×1. Ici, c'est |det J_g|, le facteur de mise à l'échelle du volume : à mesure que l'application g comprime ou dilate de petites boîtes de l'espace u vers l'espace x, le déterminant remet à l'échelle l'intégrale pour que le total reste correct.
Essayer d'intégrer sur une région ronde avec des carreaux x-y carrés est comme paver un rond-point circulaire avec des briques rectangulaires : les bords ne s'emboîtent jamais proprement. Passez aux coordonnées circulaires (polaires) qui s'enroulent autour du centre et la forme se met en place naturellement. Le prix de ce changement est le facteur d'étirement, qui transforme l'élément de surface en r dr dθ parce que les anneaux plus éloignés du centre couvrent plus d'espace.