Calcul multivarié depuis les premiers principes
Tout comme une fonction à 1 dimension a une dérivée seconde, une fonction à plusieurs variables a des dérivées partielles d'ordre deux. Vous différenciez deux fois. La nouveauté est que vous pouvez désormais choisir par quelle variable différencier à chaque fois, et quelque chose d'élégant se produit lorsque vous les mélangez.
Les dérivées partielles secondes pures ∂²f/∂x² et ∂²f/∂y² mesurent la courbure le long de chaque axe. La dérivée partielle mixte ∂²f/∂x∂y différencie d'abord par y, puis par x ; elle mesure comment la pente dans une direction change lorsque vous vous déplacez dans l'autre.
Une première dérivée partielle vous indique la raideur de la colline ; une deuxième dérivée partielle vous indique comment cette raideur elle-même change au fur et à mesure que vous vous déplacez, ce qui est la courbure de la pente. En marchant vers l'est, le sol continue-t-il à devenir plus raide ou commence-t-il à s'aplanir ? Cette flexion de la pente vers l'est ∂f/∂x lorsque vous avancez plus à l'est est la deuxième dérivée partielle ∂²f/∂x², la courbure de la colline dans cette direction.