Calcul multivarié depuis les premiers principes
Une seule idée porte l'essentiel du calcul à plusieurs variables : pour différencier une fonction de plusieurs variables, ne faites varier qu'une seule variable à la fois et figez toutes les autres. Maintenez y immobile, faites bouger x, et demandez comment f réagit. Ce taux de variation est la dérivée partielle ∂f/∂x.
Le ∂ bouclé (« partiel ») est la seule notation nouvelle. Tout le reste est de la dérivation du Cours I (règle de la puissance, règle du produit, règle de la chaîne) appliquée comme si les variables figées n'étaient que des constantes.
Tenez-vous sur le flanc d'une colline et la pente que vous ressentez dépend de la direction à laquelle vous faites face. Marchez plein est, en gardant votre position nord-sud fixe, et la raideur sous vos pieds est la dérivée partielle ∂f/∂x. Tournez-vous et marchez plutôt plein nord, en gardant est-ouest fixe, et vous ressentez une pente différente, ∂f/∂y. Chaque dérivée partielle gèle une direction et rapporte la montée ou la descente le long de l'autre.