Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
L'élimination de Gauss est l'algorithme systématique pour résoudre Ax = b à la main ou à la machine. L'idée : utiliser des opérations élémentaires sur les lignes pour tailler le système en forme d'escalier (échelonnée), puis lire la solution en remontant.
Trois opérations sur les lignes sont permises, et aucune ne change l'ensemble des solutions : permuter deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ou ajouter un multiple d'une ligne à une autre. Vous les maniez pour faire tomber les entrées à zéro, une colonne à la fois.
La première entrée non nulle de chaque ligne est un pivot. Travaillez de haut en bas, utilisant chaque pivot pour effacer tout ce qui est en dessous, jusqu'à ce que la matrice soit triangulaire supérieure. Puis substituez en remontant : la dernière ligne donne une variable directement ; injectez-la dans la ligne au-dessus et remontez.