Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
L'inverse A⁻¹ est la transformation qui défait A. Appliquez A puis A⁻¹ et tout vecteur rentre chez lui : A⁻¹A = AA⁻¹ = I. Si A pivote de 30°, son inverse pivote en arrière de 30° ; si A double les longueurs, son inverse les divise par deux.
Toute matrice ne peut pas être défaite. Un inverse n'existe que quand A est de rang plein, équivalemment quand son déterminant est non nul. La raison est géométrique : si A aplatit l'espace (écrasant une direction à zéro, comme le fait une matrice de rang faible), de l'information est détruite et il n'y a aucun moyen de la reconstruire. Une telle matrice est singulière.
Pour une matrice 2×2 il y a une forme fermée mémorable. Permutez la diagonale, niez l'anti-diagonale, divisez par le déterminant :