Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
Une forme quadratique xᵀAx prend un vecteur et renvoie un seul nombre qui varie quadratiquement en x, la version matricielle de ax². Quand x balaie toutes les directions, ce nombre trace une surface, et la matrice A (prise symétrique) décide la forme de cette surface.
Ses valeurs propres sont les courbures le long des axes propres, et leurs signes classifient la surface complètement. Toutes positives : un bol s'ouvrant vers le haut (définie positive) avec un minimum net. Toutes négatives : un dôme (définie négative) avec un maximum. Signes mixtés : une col (indéfinie), montant dans certaines directions, descendant dans d'autres.
Basculez les signes des valeurs propres dans la figure et observez la surface se transformer entre bol, dôme, et col.