Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
Une matrice est plus qu'une grille de nombres. C'est une fonction qui transforme l'espace : donnez-lui un vecteur x et elle vous rend un nouveau vecteur Ax. Sur tout le plan elle agit comme un mouvement cohérent (une rotation, un étirement, une réflexion, un cisaillement, une projection) appliqué à chaque point à la fois.
Ce qui la rend linéaire est qu'elle respecte les deux opérations vectorielles : A(x + y) = Ax + Ay et A(cx) = c·Ax. Les droites restent droites, l'origine reste fixe, et les grilles régulièrement espacées deviennent des grilles régulièrement espacées (possiblement inclinées).
Voici comment lire une matrice à l'œil : ses colonnes sont là où les vecteurs de base atterrissent. La première colonne est l'image de [1, 0] ; la seconde colonne est l'image de [0, 1]. Une fois que vous savez où les deux axes vont, toute la transformation est fixée, parce que tout autre vecteur est une combinaison d'eux.