Géométrie et algèbre des applications linéaires, vecteurs et matrices
La transposée Aᵀ retourne une matrice par rapport à sa diagonale principale : les lignes deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes. L'entrée (i, j) échange avec l'entrée (j, i). Une matrice (m×n) devient (n×m).
Imaginez une feuille de calcul où les lignes sont des personnes et les colonnes sont les mois où chacune a payé. La transposer bascule tout le tableau sur sa diagonale pour que les lignes deviennent des colonnes : maintenant les lignes sont des mois et les colonnes sont des personnes. Aucun nombre n'est perdu ou changé — chaque valeur se déplace simplement vers sa cellule miroir, où son étiquette de ligne et son étiquette de colonne ont échangé leurs places.
Une matrice qui égale sa propre transposée, A = Aᵀ, est symétrique : en équilibre miroir par rapport à la diagonale, avec Aᵢⱼ = Aⱼᵢ. Ces matrices sont assez spéciales pour que deux leçons entières leur soient consacrées plus tard.