רציפות

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי חד־משתני מיסודות ראשונים

באופן בלתי פורמלי, פונקציה היא רציפה אם אפשר לצייר אותה בלי להרים את העט: בלי חורים, בלי קפיצות, בלי התפוצצויות פתאומיות. הגרסה המדויקת מהדקת זאת בעזרת הגבול שזה עתה למדנו: בכל נקודה, הערך שאליו הפונקציה חותרת חייב להתאים לערך שבו היא נמצאת בפועל.

שלושה דברים חייבים להתיישר זה עם זה: f(a) קיים, הגבול קיים, ושניהם שווים. אם אחד מהשלושה נכשל, יש אי־רציפות, ויש לה בדיוק שלושה סוגים.

אי־רציפות ניתנת להסרה היא נקודה בודדת חסרה, חור, שבו הגבול קיים אך הפונקציה דילגה על הערך הזה (כמו החור של (x²−4)/(x−2)). קפיצה מתרחשת כשהגבול השמאלי והגבול הימני אינם מסכימים, ואז הגרף קופץ מרמה אחת לאחרת. אי־רציפות אינסופית היא אסימפטוטה אנכית, שבה הפונקציה משתגרת ל־±∞ (כמו 1/x ב־0).