גאומטריית היעקוביאן

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים

הפוך את היעקוביאן לריבועי (n קלטים, n פלטים) והדטרמיננטה שלו מקבלת תפקיד גאומטרי ממשי. מאלגברה לינארית, הדטרמיננטה של מטריצה היא הגורם שבו היא מכפילה נפח. דטרמיננטת היעקוביאן אומרת כמה מפה מותחת או מכווצת טלאי זעיר של מרחב כשהוא עובר דרכה.

אם |det J| > 1, קופסה קטנה של מרחב הקלט יוצאת גדולה יותר, אז המפה מתרחבת. אם |det J| , היא יוצאת קטנה יותר, אז המפה מתכווצת. אם det J = 0, הקופסה נמעכת ונעשית שטוחה: המפה מקריסה ממד ואינה הפיכה מקומית.

ציירו ריבוע זעיר על יריעת גומי נמתחת, ואז מישכו את היריעה כדי לעוות את הרשת. הדטרמיננטה של יעקוביאן היא המספר היחיד שאומר לכם כמה שטחו של הריבוע הקטן הזה גדל או התכווץ במתיחה. מישכו את הגומי לשני הכיוונים והריבוע יתנפח; מעכו אותו אל קמט יחיד ושטחו יצנח לאפס.