חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים
הערכים העצמיים של ההסיאן הופכים את השאלה המעורפלת 'איזו נקודה קריטית זו?' לרשימת בדיקה ברורה. בנקודה שבה הגרדיאנט מתאפס, הסימנים של הערכים העצמיים של ההסיאן מגלים אם אנחנו יושבים בתוך קערה, על כיפה, או על אוכף.
זהו מבחן הנגזרת השנייה בריבוי משתנים, והוא הכללה ישירה של המקרה החד־ממדי: שם f″ > 0 סימן מינימום ו־f″ סימן מקסימום. הערכים העצמיים של ההסיאן הם פשוט הגרסה הרב־כיוונית של אותו מספר יחיד.
דמיינו שלושה חטיפים. קערת מרק מתעקלת כלפי מעלה לא משנה לאיזה כיוון תטו אותה, כיפת גלידה מתעקלת כלפי מטה בכל מקום, וצ'יפס פרינגלס מתעקם כלפי מעלה לאורך אורכו אך כלפי מטה לרוחבו. הערכים העצמיים של ההסיאן הם פשוט העקמומיות לאורך הכיוונים המיוחדים הללו: אותו סימן משמעותו קערה או כיפה, סימנים הפוכים (כמו 2 ו־−2) משמעותם הצ'יפס, אוכף.