חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים
אינטגרל יחיד מדד את השטח שמתחת לעקומה. האינטגרל הכפול מודד נפח שמתחת למשטח. כסה אזור במישור באריחים זעירים, הכפל את שטח כל אריח בגובה המשטח שמעליו, חבר את הכול, ולבסוף הקטן את האריחים. זהו רעיון הסכום הרימני, מורם לממד נוסף.
מחשבים אותו באמצעות אינטגרציה חוזרת: מבצעים אינטגרציה על משתנה אחד, ואז על השני. משפט פוביני הוא שהופך זאת למעשי, שכן עבור פונקציות רציפות אפשר לבצע את האינטגרציה בכל סדר ולקבל את אותה תשובה.
דמיינו שאתם מודדים את סך הגשם שנלכד על פני שדה שלם. הגשם יורד בצורה לא אחידה, חזק יותר ליד פינה אחת, חלש יותר באחרת, אז אתם חותכים בראשכם את השדה לריבועים קטנים, מכפילים את שטחו של כל ריבוע בעומק הגשם המקומי שם, ומסכמים את כל החלקות. הקטנת החלקות הופכת את הסכום הזה לאינטגרל הכפול של העומק f(x, y) על פני השדה.