אינטגרלים משולשים

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים

הוסף ממד נוסף, ויש בידך את האינטגרל המשולש: במקום לרצף אזור דו־ממדי, ממלאים גוף תלת־ממדי בקופסאות זעירות, משקללים כל אחת לפי ערך הפונקציה שם, ומחברים. המנגנון זהה לקודם, סכומי רימן ואחריהם אינטגרציה חוזרת, ופוביני עדיין מאפשר לבחור את הסדר.

על פני קופסה [a,b]×[c,d]×[e,g] אלו שלושה אינטגרלים יחידים מקוננים: מבצעים אינטגרציה על משתנה אחד תוך החזקת האחרים קבועים, ואז על הבא, ואז על האחרון. כל צעד הוא אינטגרציה רגילה מקורס I.

חשבו על שקילת עוגת ספוג שצפיפותה משתנה ממקום למקום: אוורירית ליד החלק העליון, דחוסה ולחה יותר לקראת האמצע. כדי לקבל את המסה הכוללת שלה הייתם חותכים אותה לקוביות זעירות, מכפילים את הנפח הקטן של כל קובייה בצפיפות בדיוק שם, ומוסיפים כל פירור. הקטנת הקוביות הופכת את הסכום הזה לאינטגרל המשולש של הצפיפות f(x, y, z) על פני העוגה.