החלפת משתנים

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים

השיעור האחרון הזה קושר יחד את שני חצאי הקורס. כשמחליפים משתנים באינטגרל באמצעות ההצבה x = g(u), צריך להביא בחשבון את האופן שבו ההצבה מותחת את המרחב. גורם המתיחה הזה הוא דטרמיננטת היעקוביאן ממודול 3, ולכן הנוסחה הסופית היא המקום שבו הנגזרות והאינטגרלים של הקורס נפגשים סוף־סוף.

זוהי ההכללה הרב־משתנית של הצבת u מקורס I. שם, הגורם היה |dx/du|, 'יעקוביאן' בגודל 1×1. כאן הוא |det J_g|, גורם קנה המידה של הנפח: כשהעתקה g דוחסת או מרחיבה קופסאות קטנות ממרחב u אל מרחב x, הדטרמיננטה מכיילת מחדש את האינטגרל כדי שהסכום הכולל יישאר נכון.

ניסיון לבצע אינטגרציה על אזור עגול עם אריחי x-y ריבועיים דומה לריצוף מעגל תנועה עגול בלבנים מלבניות: הקצוות לעולם אינם משתלבים בצורה נקייה. מעבר לקואורדינטות מעגליות (פולריות) העוטפות את המרכז גורם לצורה להסתדר במקומה באופן טבעי. המחיר על המעבר הוא גורם המתיחה, ההופך את אלמנט השטח ל־r dr dθ מכיוון שטבעות רחוקות יותר מהמרכז מכסות שטח רב יותר.