נגזרות חלקיות מסדר גבוה

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי רב־משתני מיסודות ראשונים

בדיוק כפי שלפונקציה חד־ממדית יש נגזרת שנייה, לפונקציה רב־משתנית יש נגזרות חלקיות מסדר שני. פשוט גוזרים פעמיים. החידוש הוא שעכשיו אפשר לבחור לפי איזה משתנה לגזור בכל פעם, ומשהו מסודר קורה כשמערבבים ביניהם.

הנגזרות החלקיות הטהורות ∂²f/∂x² ו־∂²f/∂y² מודדות עקמומיות לאורך כל ציר. הנגזרת החלקית המעורבת ∂²f/∂x∂y גוזרת קודם לפי y, ואז לפי x; היא מודדת איך השיפוע בכיוון אחד משתנה כשזזים בכיוון השני.

נגזרת חלקית ראשונה אומרת לכם את תלילות צלע הגבעה; נגזרת חלקית שנייה אומרת לכם כיצד התלילות עצמה משתנה כשאתם זזים, שהיא העקמומיות של השיפוע. בהליכה מזרחה, האם הקרקע ממשיכה להיעשות תלולה יותר או מתחילה להתיישר? הכיפוף הזה של השיפוע המזרחי ∂f/∂x כשאתם ממשיכים מזרחה הוא הנגזרת החלקית השנייה ∂²f/∂x², העקמומיות של הגבעה לאורך כיוון זה.