הופכית מטריצה — אלגברה לינארית

גאומטריה ואלגברה של העתקות לינאריות, וקטורים ומטריצות

ההופכית A⁻¹ היא הטרנספורמציה שמבטלת את A. הפעל את A ואז את A⁻¹, וכל וקטור חוזר הביתה: A⁻¹A = AA⁻¹ = I. אם A מסובבת ב־30°, ההופכית שלה מסובבת חזרה ב־30°; אם A מכפילה אורכים, ההופכית שלה מחצה אותם.

לא כל מטריצה ניתנת לביטול. הופכית קיימת רק כאשר A היא בעלת דרגה מלאה, או באופן שקול כאשר הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. הסיבה גאומטרית: אם A משטחת את המרחב (מקריסה כיוון לאפס, כפי שעושה מטריצה מדרגה נמוכה), מידע נהרס ואין דרך לשחזר אותו. מטריצה כזו נקראת סינגולרית.

למטריצה 2×2 יש נוסחה סגורה קלה לזכירה. החלף את האלכסון, שלול את האיברים שמחוץ לאלכסון, וחלק בדטרמיננטה:

איפה זה ב־MLההופכית מרכזית מבחינה מושגית אך נמנעים ממנה בפועל. המשוואות הנורמליות של רגרסיה נכתבות כ־β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy, ובכל זאת פותרים אמיתיים לעולם אינם מרכיבים את ההופכית הזו; הם פותרים את המערכת ישירות, מכיוון שהיפוך הוא יקר ופגיע מבחינה נומרית. לדעת מתי מטריצה הפיכה (דרגה מלאה) אומר לך אם הבעיה שלך מוגדרת היטב או ניוונית.