אלכסוניזציה

גאומטריה ואלגברה של העתקות לינאריות, וקטורים ומטריצות

אלכסוניזציה כותבת מטריצה מחדש במערכת הקואורדינטות הטבעית ביותר שלה, זו הבנויה מהוקטורים העצמיים שלה. במערכת הזו המטריצה אלכסונית: היא אינה עושה דבר מלבד לכפול כל ציר עצמי בערך העצמי שלו. טרנספורמציה מסובכת הופכת לפשוטה.

כאן P מכילה את הוקטורים העצמיים כעמודותיה, ו־D אלכסונית עם הערכים העצמיים. קרא את המכפלה מימין לשמאל כמתכון בן שלושה צעדים: P⁻¹ מסובב לקואורדינטות העצמיות, D מותח כל ציר, ו־P מסובב חזרה. טרנספורמציה מבולגנת, המבוטאת כמתיחה טהורה הנתונה בין שני שינויי נקודת מבט.

אלכסוניזציה הופכת חזקות של מטריצה לכמעט חינמיות. מכיוון שזוגות ה־P⁻¹P האמצעיים מבטלים זה את זה, מתקיים Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, והעלאת מטריצה אלכסונית בחזקה פשוט מעלה כל איבר אלכסוני באותה חזקה. אין צורך בכפל מטריצות חוזר.