תוחלת ושונות (רציף)

המתמטיקה של אי־ודאות

כל מה שלמדת על תוחלת ושונות עובר גם למשתנים רציפים. פשוט מחליפים את הסכום באינטגרל. משקל ה־PMF p(x) הופך לצפיפות f(x) dx, ו"לסכום על כל הערכים" הופך ל"לאנטגרל על הישר".

האינטואיציה זהה: E[X] עדיין נקודת האיזון של מסת הצפיפות, והשונות עדיין המרחק הריבועי הממוצע מאותה נקודה. לינאריות התוחלת וכלל ההכפלה Var(aX+b)=a²Var(X) שורדים ללא שינוי.

חשבו על נדנדה עם משקל שמרוח באופן לא אחיד לאורך הקרש במקום לשבת בנקודה אחת. הנקודה היחידה שבה היא מתאזנת היא E[X], הממוצע של הצפיפות. עד כמה המשקל מושלך החוצה מאותו ציר, נמדד כמרחק ריבועי ממוצע, הוא Var(X): משקל מקובץ קרוב למרכז פירושו שונות קטנה, משקל שנדחף לקצוות הרחוקים פירושו שונות גדולה.