प्रथम सिद्धांतों से एक-चर कलन
उत्तलता वह आकार है जो अनुकूलन को आसान बनाता। एक उत्तल फलन सर्वत्र ऊपर उठता, एक कटोरे की तरह, और वह एक गुण इसे न्यूनीकृत करना आसान बनाता: ठीक एक सबसे निचला बिंदु, और कोई भी नीचे की ढाल सीधे वहाँ ले जाती।
उत्तलता देखने के तीन तुल्य तरीके। पहला, द्वितीय अवकलज सर्वत्र अऋणात्मक: f″(x) ≥ 0। दूसरा, वक्र ऊपर उठता और कभी नीचे नहीं मुड़ता। तीसरा, परिभाषित चित्र, किन्हीं दो बिंदुओं के बीच जीवा वक्र के ऊपर।
एक चिकनी घाटी, या एक कटोरे के अंदर की तस्वीर लें, और एक कंचे को कहीं भी गिरा दें। कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कहाँ से शुरू होता है, कंचा हमेशा एकल सबसे निचले बिंदु पर लुढ़कता है और वहीं बस जाता है। उत्तलता आपको बिल्कुल यही देती है: एक घाटी, कोई झूठी तली नहीं, इसलिए कोई भी ढलान वाला रास्ता एक सच्चे न्यूनतम की ओर ले जाता है।