प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
जब आउटपुट भी सदिश हो, फलन f: Rⁿ → Rᵐ, तो एक ग्रेडिएंट काफ़ी नहीं। आपको हर आउटपुट का हर इनपुट के सापेक्ष आंशिक अवकलज चाहिए। उन सभी को एक आव्यूह में जमाएँ और आपको जैकोबियन J मिलता है, सदिश-मान फलन का पूरा प्रथम अवकलज।
J की पंक्ति i बस i-वें आउटपुट का ग्रेडिएंट है। तो जैकोबियन ग्रेडिएंटों का ढेर है, प्रत्येक आउटपुट निर्देशांक के लिए एक। इसका आकार m × n है: जितने आउटपुट उतनी पंक्तियाँ, जितने इनपुट उतने स्तंभ।
एक साउंड इंजीनियर की मिक्सिंग डेस्क के बारे में सोचें, जहाँ प्रत्येक आउटपुट चैनल प्रत्येक इनपुट नॉब पर प्रतिक्रिया करता है। जैकोबियन (Jacobian) वह संवेदनशीलता तालिका है जो लिखी गई है: प्रत्येक प्रविष्टि यह बताती है कि जब आप एक इनपुट नॉब को हिलाते हैं तो एक आउटपुट कितना चलता है। एक एकल आउटपुट को चलाने वाली हर चीज़ को देखने के लिए एक पंक्ति में पढ़ें; एक नॉब जो कुछ भी नियंत्रित करता है उसे देखने के लिए एक कॉलम में नीचे पढ़ें।