जैकोबियन ज्यामिति

प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन

जैकोबियन को वर्ग बनाएँ (n इनपुट, n आउटपुट) और इसका सारणिक एक ठोस ज्यामितीय काम करता है। रैखिक बीजगणित से, आव्यूह का सारणिक वह गुणक है जिससे यह आयतन को स्केल करता है। जैकोबियन सारणिक बताता है कि एक मानचित्र समष्टि के एक छोटे टुकड़े को कितना खींचता या सिकोड़ता है जैसे ही वह इसके पास से गुज़रता है।

यदि |det J| > 1, इनपुट समष्टि का एक छोटा डिब्बा बड़ा निकलता है, तो मानचित्र विस्तार करता है। यदि |det J| , वह छोटा निकलता है, तो मानचित्र संकुचन करता है। यदि det J = 0, डिब्बा सपाट हो जाता है: मानचित्र एक विमा ध्वस्त करता है और स्थानीय रूप से अनुक्रम्य नहीं है।

रबर की एक खिंचाव वाली शीट पर एक छोटा सा वर्ग (square) खींचें, फिर ग्रिड (grid) को विकृत करने के लिए शीट को खींचें। जैकोबियन निर्धारक (Jacobian determinant) वह एकल संख्या है जो आपको बताती है कि खिंचाव में उस छोटे वर्ग का क्षेत्रफल कितना बढ़ा या सिकुड़ गया। रबर को दोनों तरफ से खींचें और वर्ग गुब्बारे की तरह फूल जाता है; इसे एक ही क्रीज (crease) पर कुचल दें और इसका क्षेत्रफल शून्य हो जाता है।