प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
ग्रेडिएंट सभी प्रथम अवकलजों को पैक करता है। हेसियन एक अदिश फलन f: Rⁿ → R के सभी द्वितीय अवकलजों को एक आव्यूह में पैक करता है। जहाँ ग्रेडिएंट ढाल देता है, वहाँ हेसियन वक्रता देता है: जैसे ही आप घूमते हैं ढाल स्वयं कैसे बदलती है।
क्लैरो प्रमेय (पाठ 6) से, Hᵢⱼ = Hⱼᵢ, इसलिए हमारे लिए महत्वपूर्ण चिकने फलनों के लिए हेसियन हमेशा सममित होता है। यह एक उपहार है: सममित आव्यूहों के वास्तविक आइगेन मान और लंबकोणीय आइगेन सदिश होते हैं, और वे आइगेन मान ठीक मुख्य दिशाओं के अनुदिश वक्रताएँ हैं।
यदि ग्रेडिएंट किसी सतह का स्पीडोमीटर है, तो हेसियन (Hessian) उसका वक्रता डैशबोर्ड है: यह रिपोर्ट करता है कि ढलान स्वयं एक साथ हर दिशा में कैसे झुक रही है। आपके चारों ओर ऊपर की ओर मुड़ने वाली सतह एक घाटी के तल की तरह पढ़ती है; चारों ओर नीचे की ओर मुड़ने वाली सतह गुंबद के शीर्ष की तरह पढ़ती है; एक तरफ ऊपर और दूसरी तरफ नीचे मुड़ने वाली सतह एक काठी (saddle) है। हेसियन वह सब कुछ द्वितीय व्युत्पन्नों (second derivatives) के एक सममित ग्रिड में पैक करता है।