प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
कई विमाओं में अनुकूलन ठीक वहीं शुरू होता है जहाँ 1-D में शुरू होता था: ढाल शून्य जहाँ है वहाँ खोजें। लेकिन अब 'ढाल' पूरा ग्रेडिएंट सदिश है, इसलिए एक क्रांतिक बिंदु वह है जहाँ हर आंशिक अवकलज एक साथ शून्य हो, ∇f = 0।
यह आवश्यक है लेकिन पर्याप्त नहीं: शून्य ग्रेडिएंट एक न्यूनतम, अधिकतम, या काठी चिह्नित करता है। उनमें अंतर करने के लिए आप हेसियन लाते हैं और उसके आइगेन मान चिह्न पढ़ते हैं, पाठ 13 का द्वितीय-क्रम परीक्षण। शून्य ग्रेडिएंट उम्मीदवार को खोजता है; हेसियन उसे वर्गीकृत करता है।
पहाड़ी गोल्फ कोर्स पर चलें और समतल स्थानों की तलाश करें, जहाँ गेंद स्थिर बैठेगी। पहाड़ी की चोटी पर टी (tee), खोखले में निचला हरा (green), और एक रिज के साथ चपटी काठी सभी ऐसे स्थान हैं जहाँ ज़मीन हर दिशा में क्षण भर के लिए समतल होती है। वह समतलता (flatness) ∇f = 0 है; चाहे आप चोटी पर हों, खोखले में हों, या काठी पर हों, यह एक अलग सवाल है जिसका जवाब हेसियन (Hessian) देता है।