प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
कुछ अनुकूलन समस्याएँ आसान हैं और कुछ कठिन, और एक गुण रेखा खींचता है: अवतलता। एक अवतल फलन का एकल कटोरा आकार है बिना झूठे तल के, इसलिए जहाँ ग्रेडिएंट शून्य है वहाँ आपको वह वैश्विक न्यूनतम मिल गया। कोई काठी नहीं, कोई स्थानीय जाल नहीं।
परिभाषित चित्र: एक फलन अवतल है यदि उसके ग्राफ़ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच सीधी जीवा ग्राफ़ से ऊपर (या पर) रहती है। फलन कभी अपने स्वयं के शॉर्टकट से ऊपर नहीं उभरता।
एक चिकने सलाद के कटोरे की तुलना एक ऊबड़-खाबड़ अंडे के कार्टन से करें। कटोरे में एक असली तल होता है: कहीं से भी एक कंचा (marble) घुमाएं और वह हमेशा एक ही निचले बिंदु पर स्थिर होता है। अंडे का कार्टन छोटे-छोटे जालों से भरा होता है, जिनमें से प्रत्येक एक झूठा तल होता है जो कंचे को सबसे निचले हिस्से से पहले ही पकड़ लेता है। एक उत्तल फ़ंक्शन (convex function) सलाद का कटोरा है, और वह एक एकल गारंटीकृत न्यूनतम (guaranteed minimum) ही है जो इसे अनुकूलित (optimize) करना आसान बनाता है।