प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
अक्सर आप हर जगह सबसे निचला बिंदु नहीं चाहते; आप एक प्रतिबंध के अधीन सबसे निचला बिंदु चाहते हैं। हानि न्यूनतम करें जबकि भार प्रामाण बाध्य रखें; मार्जिन अधिकतम करें जबकि बिंदु सही ढंग से वर्गीकृत रहें। लाग्रांज गुणक एक प्रतिबंध वक्र के अनुदिश अनुकूलन के लिए मानक उपकरण हैं।
जो ज्यामिति पकड़ना है: प्रतिबंधित अनुकूल पर, f के स्तर वक्र प्रतिबंध g(x) = 0 के स्पर्शी होते हैं। यदि वे छूने के बजाय काटते, तो आप प्रतिबंध पर फिसलकर बेहतर मान तक जा सकते। स्पर्शता का मतलब दोनों ग्रेडिएंट एक ही रेखा पर इशारा करते हैं, इसलिए वे समानांतर हैं:
अदिश λ (लाग्रांज गुणक) आनुपातिकता गुणक है। दोनों शर्तों को एक वस्तु में पैक करने पर लाग्रांजियन L = f − λg मिलता है; ∇L = 0 रखने पर ठीक ऊपर के समीकरण मिलते हैं।