प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
एकल समाकलन वक्र के नीचे क्षेत्रफल मापता था। द्वि-समाकलन पृष्ठ के नीचे आयतन मापता है। समतल के एक क्षेत्र को छोटी टाइलों से ढकें, प्रत्येक टाइल का क्षेत्रफल पृष्ठ की ऊँचाई से गुणा करें, जोड़ें, फिर टाइलें सिकोड़ें। यह रीमैन-योग विचार एक और विमा में उठाया गया है।
आप इसे पुनरावृत समाकलन से गणना करते हैं: एक चर पर समाकलित करें, फिर दूसरे पर। फुबिनी प्रमेय इसे व्यावहारिक बनाता है, क्योंकि संतत फलनों के लिए आप किसी भी क्रम में समाकलित कर सकते हैं और वही उत्तर मिलता है।
पूरे खेत में हुई कुल वर्षा को मापने की कल्पना करें। बारिश असमान रूप से होती है, एक कोने के पास भारी, दूसरे कोने में हल्की, इसलिए आप मानसिक रूप से खेत को छोटे वर्गों (squares) में काटते हैं, प्रत्येक वर्ग के क्षेत्रफल को वहाँ की स्थानीय वर्षा की गहराई से गुणा करते हैं, और हर पैच को जोड़ते हैं। पैच को छोटा करने से वह योग खेत के ऊपर गहराई f(x, y) के दोहरे समाकल (double integral) में बदल जाता है।