प्रथम सिद्धांतों से बहु-चर कलन
एक और विमा जोड़ें और आपके पास त्रि-समाकलन है: 2-D क्षेत्र को टाइल करने के बजाय, आप एक 3-D ठोस को छोटे डिब्बों से भरते हैं, प्रत्येक को वहाँ फलन के मान से भारित करते हैं, और योग करते हैं। यंत्र पहले की तरह है, रीमैन योग फिर पुनरावृत समाकलन, फुबिनी अब भी क्रम चुनने देता है।
एक डिब्बे [a,b]×[c,d]×[e,g] पर यह तीन नेस्टेड एकल समाकलन है: एक चर पर समाकलित करें बाकी को नियत रखते हुए, फिर अगला, फिर अंतिम। प्रत्येक कदम साधारण कलन-I समाकलन है।
एक स्पंज केक का वजन करने के बारे में सोचें जिसका घनत्व एक जगह से दूसरी जगह बदलता है: शीर्ष के पास हवादार, बीच की ओर घना और नम। इसका कुल द्रव्यमान (mass) प्राप्त करने के लिए आप इसे छोटे-छोटे क्यूब्स में काटेंगे, प्रत्येक क्यूब के छोटे आयतन को वहाँ के घनत्व से गुणा करेंगे, और हर टुकड़े को जोड़ेंगे। क्यूब्स को सिकोड़ने से वह योग केक के ऊपर घनत्व f(x, y, z) के ट्रिपल समाकल (triple integral) में बदल जाता है।